C.H.
On considère que vous participez à un jeu avec les règles suivantes : il y a face à vous deux boîtes, l’une transparente l’autre opaque. Dans la boîte transparente, vous pouvez voir distinctement qu’il y a 1000 euros. On vous propose deux possibilités : a) prendre le contenu des deux boîtes, b) ne prendre que le contenu de la boîte opaque. Avant de faire votre choix, on vous donne une information supplémentaire : avant que vous aillez fait votre choix, l’organisateur a pu mettre ou non dans la boîte opaque 1 million d’euros; l’organisateur a suivi les indications d’un medium (ou de tout autre individu doté de facultés psychiques particulières) : si celui-ci pense que vous allez prendre les deux boîtes, alors il a indiqué à l’organisateur de ne rien mettre dans la boîte opaque, si en revanche il pense que vous allez prendre seulement la boîte opaque, alors il a indiqué à l’organisateur de placer 1 million d’euros dans cette dernière.
On considère qu’il est connu que le medium est quasiment infaillible (la probabilité qu’il se trompe est p < 0,05). Question : étant donné toutes ces informations, prenez vous les deux boîtes ou seulement la boîte opaque ? Expliquez votre choix.
Eléments de réponse
Le problème proposé est une variante du « paradoxe de Newcomb » qui a été publié pour la première fois en 1969. La dimension paradoxale du problème vient du fait que les deux options (prendre les deux boîtes ou seulement la boîte opaque) peuvent chacune être justifiées rationnellement à l’aide de deux principes distincts communément admis en théorie de la décision : l’utilité espérée et la dominance. Pour s’en rendre compte, il est utile de poser le problème sous forme de matrice en considérant que p s’approche arbitrairement de 1 :
| Le médium | ||||
| Boîte opaque | Les deux boîtes | |||
| Boîte opaque | 1 million | 0 | ||
| Vous | ||||
| Les deux boîtes | 1 million + 1000 | 1000 |
Les deux stratégies du médium doivent se lire respectivement comme « le médium prédit que vous allez prendre seulement la boîte opaque/les deux boîtes ». Un raisonnement en termes d’utilité espérée conduit logiquement à prendre uniquement la boîte opaque; en effet, 1 000 000p > 1000p + 1 001 000(1-p) pour p > 0,5 ce que l’on considère vrai par hypothèse. Cependant, le problème tel qu’il est présenté fait qu’il est tout à fait raisonnable d’adopter un raisonnement en termes de dominance. Comme le montre la matrice, il est alors clair que la stratégie « prendre les deux boîtes » domine la stratégie « prendre la boîte opaque ».
Les deux principes de décision (utilité espérée et dominance) étant considérés comme valables mais débouchant sur des préconisations opposées, on a donc bien à faire à un paradoxe. Comment peut-on sortir de cette impasse ? Le paradoxe a été discuté par de nombreux philosophes. Robert Nozick a indiqué dans un article de 1974 qu’après que le problème ait été discuté dans la revue Scientific American, parmi les 160 lettres de lecteurs qui ont été reçu après coup, 60% indiquaient le choix de la boîte opaque seulement. Par ailleurs, 11% des répondants considéraient que les données du problème étaient inconsistentes, créant ainsi artificiellement le paradoxe.
Cette dernière réponse est naturelle : à partir du moment où les deux principes de décision sont indiscutables, il est fort probable que le paradoxe soit le produit de l’énoncé du problème. On peut estimer que le paradoxe est le résultat de la dimension d’auto-référentialité contenu dans l’énoncé : le médium fait une prédiction sur un évènement, lequel évènement est fonction de la prédiction. Comme l’un des commentateurs l’a remarqué, cela soulève le problème philosophique du conflit entre libre-arbitre et déterminisme.
Une autre manière de présenter le problème est de le regarder au travers de l’opposition entre utilité espérée « causale » et utilité espérée « évidentielle ». La première est l’approche classique en théorie de la décision; elle part du principe qu’il y a indépendance entre l’état du monde Sj et la décision Ai prise par un individu. Dans ce cas, l’individu choisit l’action Ai qui maximise son utilité espérée en fonction de la probabilité d’occurence des différents états Sj. La version « évidentielle » de l’utilité espérée supprime la clause d’indépendance : l’action Ai conditionne l’état du monde Sj. Le problème de maximisation inclu donc une probabilité conditionnelle. Selon la version de l’utilité espérée qui est choisie, le problème ci-dessus donne deux solutions différentes. Soit on raisonne en termes d’utilité espérée causale et alors on considère qu’il y a indépendance causale entre notre choix et la prédiction du medium ; dans ce cas, le principe de dominance s’applique clairement. Soit on raisonne en termes d’utilité espérée évidentielle, considérant que notre choix produit causalement la prédiction du medium, et alors le principe de l’utilité espérée s’applique. Toute l’ambiguïté de l’énoncé est là : quelle est la nature de la prédiction du medium ?
Bref, c’était donc une question où quoiqu’il arrive, vous aviez raison !
Rationalité Limitée 
Boite opaque uniquement. Le medium introduit un feedback; mon choix a maintenant une influence sur le contenu des boites. Je prefere 95% de chance d’avoir 1 million plutot que 100% d’avoir 100 + 5% d’avoir 1 million.
Evidemment si le medium est un imposteur, et ne fonde sa prediction que sur des variables connues avant le choix (e.g. mon age, mon education, ..), alors il est clair que je prends les deux boites, puisqu’alors ca domine (au sens de la theorie des jeux) la boite opaque seule.
Je choisis la boite opaque seulement.
Je fais confiance aux règles du jeu et à ses pouvoirs de prédiction, même s’ils sont faillibles à moins de 5% (que cela signifie-t-il sur une occurrence? Ah ontologie du hasard quand tu nous tient…)
A supposer que ses pouvoirs soient précisément justes à 95% :
– Si je prends la seule boite opaque, mon espérance de gain est de 0.95*1000000 = 950 000 euros.
– Si je prends les deux boites, mon espérance de gain est de 1000 + 0.05*1000000 = 51000 euros.
Je considère être assez neutre au risque, car l’écart-type des deux choix est quasiment la même, soit 229000 euros, donc cela n’influence pas mon choix.
Pourquoi ne subis-je pas le paradoxe? Parce que je suis profondément déterministe. Je pense d’ailleurs que la confrontation sous le trait du paradoxe des maths avec le bon sens (commun) vient souvent d’influences philosophiques qui impactent l’axiomatique sur laquelle on est sensé posé un discours commun : ici, le libre arbitre.
Heu… quel est l’objectif de l’organisateur? Et du medium? veulent-ils me faire gagner le plus possible, ou le moins possible?
Merci Adrien.Je veux bien gagner 1 M€ avec une probabilité de 0,95 en choisissant seulement la boîte opaque. L’organisateur du jeu est fou! Où peut-on s’inscrire?
S’il existe un médium, il en existe d’autres.
Je demande donc à un autre médium de me prédire si je vais prendre la boite ou pas. ET je fais ce qu’il me dit dans l’hypothèse où l’organisateur veut me faire gagner, le contraire dans l’autre.
Ce qui est pratique, c’est que grâce à ce médium, je connais aussi les intentions de l’organisateur. Et je peux même tester la compétence de l’autre médium.
Bien sûr, si ce dernier test (la compétence du médium) échoue. Je prends les deux boites.