The Nuclear Game

Soit deux joueurs, que l’on appellera respectivement CN (en rouge) et EU (en bleu), jouant au jeu séquentiel suivant :

On suppose les hypothèses épistémiques suivantes concernant la rationalité et les connaissances des joueurs :

* CN et EU sont rationnels dans le sens où ils maximisent leur utilité ; on note cela respectivement par R_CN et R_EU ;

* CN croit que EU est rationnel et croit que EU croit qu’il est rationnel ; on note cela respectivement par B_CN(R_EU) et B_CN[B_EU(R_CN)] ;

* EU croit que CN est rationnel ; on note cela par B_EU(R_CN).

Appelons l’ensemble {R_CN & R_EU & B_CN(R_EU) & B_CN[B_EU(R_CN)] & B_EU(R_CN)} la base épistémique E du jeu. Si E est connaissance commune entre les joueurs, il est évident que la seule solution, correspondant à l’équilibre parfait en sous-jeux, est pour CN de ne rien faire. On trouve ce résultat par le biais d’un raisonnement à rebours : au troisième noeud, CN aurait intérêt à attaquer. Sachant cela, au deuxième noeud, EU aurait intérêt à jouer la prévention. Sachant cela, au premier noeud, CN a intérêt à ne rien faire.

Imaginons malgré tout que le deuxième noeud est atteint. Il en découle alors que E ne peut être vrai. Supposons donc que E n’est pas connaissance commune mais que chaque joueur a seulement connaissance de ses propres croyances. Comment EU doit-il raisonner si le deuxième noeud est atteint ? Il y a deux possibilités :

* EU peut en déduire que CN n’est pas rationnel : ¬R_CN

* EU peut en déduire que CN croit qu’il n’est pas rationnel : B_CN(¬R_EU)

Ces deux déductions possibles remettent en cause E. Si EU pense que ¬R_CN (et si l’on suppose que l’irrationalité consiste à toujours jouer la stratégie contraire à ses intérêts), alors il aura intérêt à ne pas réagir. S’il pense que B_CN(¬R_EU), alors il a bien entendu à jouer la prévention. Le problème pour EU, c’est qu’en soit il ne peut absolument rien déduire du comportement de CN : il y a sous-détermination épistémique concernant la raison de la déviation de l’équilibre.

 Plaçons nous maintenant du côté de CN. Si CN est rationnel, il est capable de reproduire le raisonnement du paragraphe précédent. Si CN est versé dans la théorie de la décision, il doit connaître également le principe d’indifférence de Laplace : dans un contexte d’incertitude totale, il est « rationnel » d’assigner la même probabilité à tous les états du monde. Du point de vue de EU, cela veut dire assigner une probabilité de ½ à chaque scénario envisagé ci-dessus. Si CN décide de menacer, il y a donc une chance sur deux pour que EU ne réagisse pas. L’espérance de gain de CN est donc de 0. Si CN considère qu’il y a une possibilité infime e que EU « tremble » et renonce à prendre les mesures préventives qu’il devrait prendre une fois sur deux, alors il a intérêt à proférer des menaces.