Tautologies, infalsifiabilité et trivialité

La lecture de ce (au demeurant intéressant) billet de Kevin Bryan sur l’infalsifiabilité du théorème d’impossibilité d’Arrow me fait me rappeler d’une réflexion que je mettais faite suite à une discussion sur le caractère tautologique d’une proposition défendue dans un de mes papiers. Il me semble que, dans l’esprit de beaucoup de personnes, dire qu’une proposition est « tautologique » est plus ou moins équivalent avec l’idée qu’elle est infalsifiable. Par ailleurs, lorsqu’une proposition est qualifiée de tautologique, c’est le plus souvent dans une perspective critique, avec parfois le sous-entendu que ce qui est tautologique est trivial (i.e. évident) et donc, inintéressant d’un point de vue scientifique. Il faut néanmoins noter que la relation d’équivalence entre tautologies, infalsifiabilité et trivialité n’est pas transitive car je n’ai jamais entendu ou lu que l’infalsifiabilité implique une forme de trivialité ou l’inverse.

On a donc deux relations d’équivalence, ou supposées comme telle : tautologique = infalsifiable et tautologique = trivial, mais pas trivial = infalsifiable. Mon intention ici est de montrer que ces équivalences sont le produit d’une confusion sur la nature d’une proposition scientifique et qu’en réalité, aucun des termes n’implique l’un des autres. Pour démontrer cela, il faut déjà bien s’entendre sur ce qu’est une proposition scientifique : un ensemble d’axiomes/postulats/hypothèses qui implique une « prédiction » au sens large du terme sur ce qui existe ou n’existe pas, ou ce qui est possible ou impossible. Le théorème d’impossibilité d’Arrow est une telle proposition scientifique, que l’on peut énoncer de plusieurs manières, par exemple :

Arrow1 : Soit F l’ensemble des fonctions de bien-être social (définissant un ordre de préférence complet et transitif), alors si les conditions d’universalité, d’unanimité, d’indépendance et de non-dictature sont vérifiées, alors l’ensemble F est vide.

ou

Arrow2 : Si les membres de F satisfont les conditions d’universalité, d’unanimité et d’indépendance, alors tous les membres de F sont dictatoriaux.

A l’aune de cette proposition, on peut examiner les deux prétendues relations d’équivalence évoquées au-dessus.

Tautologique = Infalsifiable ?

Il me semble que dans beaucoup de discussions scientifiques, les notions de « tautologique » et « infalsifiable » sont utilisées de manière synonyme pour critiquer une proposition pour son caractère non-scientifique. Cette confusion vient peut être du fait que ces deux notions ont une place importante dans notre culture scientifique fondamentalement toujours marquée par le positivisme.

Il est pourtant clair que les deux notions ne sont pas équivalentes. Une proposition tautologique est une proposition vraie par définition. Autrement dit, l’antécédent (les hypothèses ou postulats) implique logiquement le conséquent. Ou formulé encore d’une autre manière, le conclusion est déjà comprise dans les prémisses de sorte que le raisonnement (déductif) n’apporte aucune information supplémentaire d’un point de vue extensionnel (antécédent et conséquent sont extensionnellement équivalents). Une proposition infalsifiable est une proposition dont on ne peut déterminer si elle est vraie ou fausse. Ici, il est important de distinguer vérité et validité : la validité renvoie à la nature du raisonnement, en particulier à son respect des canons de la logique ; la vérité renvoie à une relation de correspondance entre la proposition et la réalité empirique. Ainsi, dans l’absolu, une proposition peut être valide mais fausse.

Dans le sens poppérien de la falsification, il me semble qu’une proposition tautologique est nécessairement infalsifiable : un théorème mathématique peut être faux, mais dans ce cas la proposition correspondante n’est pas non plus tautologique. C’est dans ce sens là que le théorème d’Arrow, comme le note Bryan dans son billet, est infalsifiable. Il n’y a strictement rien à « tester » hormis la validité du raisonnement déductif. Si celui-ci est valide, le théorème est « vrai » (par définition) mais pas dans un sens empirique. Il s’agit d’une proposition « analytique » au sens du positivisme logique. En revanche, la réciproque n’est pas vraie : une proposition infalsifiable n’est pas nécessairement tautologique. Prenons l’exemple de la théorie de la sélection naturelle que j’ai évoqué dans un autre billet. Suivant la manière dont on la formule, on peut la rendre soit tautologique (et donc infalsifiable) ou uniquement infalsifiable (mais pas tautologique). Si la notion de valeur sélective (« fitness ») est définie comme « la propension à être sélectionné », alors la théorie de la sélection naturelle est tautologique. Elle est « seulement » infalsifiable si on postule que la valeur sélective est une grandeur indépendante et mesurable en théorie mais pas en pratique. Le raisonnement est le même avec la théorie des préférences révélées lorsqu’elle est appréhendée comme une théorie de la rationalité (ce qu’elle n’est pas) : en l’absence de restriction sur la manière de formuler un problème de décision ou de construire une fonction de choix, elle est tautologique et infalsifiable. Avec de telles restrictions, elle est infalsifiable car souvent il n’est pas possible de savoir si l’échec de la théorie pour prédire un comportement vient de « l’irrationalité » de l’agent (son comportement est incohérent) ou si l’échec est du à une mauvaise spécification du problème de décision (dans les limites des restrictions). En tant qu’outil pour répondre à des problèmes économiques comme la structure de la demande sur un marché, elle est tautologique et doit être assumée comme telle.

Tautologique = Trivial ?

Dans d’autres circonstances, une proposition tautologique peut être perçue comme « triviale », et donc inintéressante sur le plan scientifique. Qu’il existe des propositions tautologiques qui sont triviales ne fait aucun doute si par trivial on entend par là « évident étant donné l’état de nos connaissances ». Dans ce cas, de telles propositions n’ont peut être pas un grand intérêt scientifique (mais voir ci-dessous). Mais il est tout aussi évident que toutes les propositions tautologiques ne sont pas triviales dans ce sens. Cela va de soi d’une certaine manière, car autrement on ne voit pas trop quel serait l’intérêt des mathématiques. La raison tient au fait que si deux propositions ou énoncés peuvent être extensionnellement équivalents (ils ont la même signification), cela ne signifie pas que notre connaissance de ces énoncés le soi également. Par exemple, « 2601 » et « √51 » sont extensionnellement équivalents, mais pour le commun des mortels il faudra un certain temps (quelques secondes au moins) pour savoir que cela est le cas. Les théorèmes mathématiques complexes sont un cas extrême de cet aspect.

En économie, le théorème d’Arrow est évidemment le parfait exemple : résultat d’un pur raisonnement déductif, ce théorème est évidemment tautologique. A en juger par la littérature qu’il a généré et qu’il continue de générer, il était néanmoins à l’époque loin d’être trivial. D’une certaine manière, maintenant que la démonstration est connue et que ses ramifications ont été explorées, ce théorème rentre dans la catégorie des propositions triviales sur le plan scientifique. Cela ne l’empêche pas d’être un input très important pour l’exploration scientifique et philosophique. On peut même aller plus loin en affirmant qu’une proposition tautologique et triviale peut être scientifiquement intéressante. On peut penser ici à un autre résultat de la théorie du choix social, le paradoxe libéral-parétien de Sen. Ce paradoxe repose sur une proposition extrêmement simple à démontrer (la preuve fait en fait quelques lignes) et qui indique qu’une fonction de choix ne peut à la fois satisfaire au critère parétien d’unanimité et à une condition minimale de liberté dans toutes les circonstances sociales possibles. Ce paradoxe (contrairement au théorème d’Arrow) n’a pas beaucoup d’intérêt sur le plan formel. En revanche, il a généré une discussion très importante sur la manière d’appréhender les concepts de droits et de libertés dans un cadre de choix social et a ainsi permit à l’économie normative de sortir du cadre welfariste dans lequel elle était enfermée depuis sa naissance.

2 Commentaires

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2 réponses à “Tautologies, infalsifiabilité et trivialité

  1. Merci pour cet article fort intéressant. Vous semblez ici supposer qu’il y a une distinction analytique / synthétique. Mais si l’on en croit les arguments de Quine il serait généralement impossible de distinguer strictement entre une tautologie et un énoncé factuel (falsifiable ou non) ce présupposé qu’il existe une distinction venant de l’impression fausse que nos termes ont une signification précise (mais nous dit Quine si on veut leur donner une signification précise il faut faire appel à l’analycité et on tourne en rond).

    Il me semble qu’ici si on est « quinien » on aura tendance à dire que de tels principes d’apparence tautologiques sont en quelque sorte des « conventions utiles », justifiées en dernier recours de manière pragmatique par leur fructuosité dans l’enquête scientifique, et qu’en fin de compte toute théorie scientifique fonctionne sur la base de tels principes.
    La notion de mouvement inertiel (le fait d’être en vitesse constante–par rapport à un référentiel inertiel) est elle-même tautologique, mais peu importe puisque la mécanique de Newton fonctionne. Ces principes « tautologiques » ne sont abandonnés que quand on pense qu’ils ne s’appliquent plus à rien dans le monde.

  2. DM

    En effet, le mot « tautologique », dans son usage courant (j’inclus ici les enseignants et universitaires non logiciens) a un sens péjoratif: une vérité « évidente » et donc inintéressante (découlant directement des définitions, p.ex.). Comme vous le faites justement remarquer, le sens « technique », lui, ne met pas de restriction sur la difficulté à établir cette vérité.

    C’est pour cela que je suis agacé par les remarques du type « les mathématiques ne montrent rien que ce que l’on a déjà supposé » ou encore « c’est un système dont les résultats sont parfaitement connus puisqu’on a fixé des règles exactes ». Ceci fait complètement abstraction des difficultés de calculabilité et de complexité!

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