« Shutdown », théorie de la négociation et information incomplète

Alors que le « Shutdown » n’en finit plus, les Etats-Unis approchent lentement et sûrement du plafond de la dette, synonyme de défaut de paiement pour l’Etat américain. D’un strict point de vue de théorie économique, cette incapacité des démocrates et des républicains à se mettre d’accord en dépit des conséquences potentiellement désastreuses de ce conflit est plutôt surprenant. Que nous dit en effet la branche dite de la théorie de la négociation (bargaining theory) en économie ?

Les économistes ont plusieurs modèles qui permettent de « prédire » les résultats d’une négociation entre deux ou plusieurs agents. Les plus robustes sont ceux qui reposent sur la solution de Nash qui indiquent qu’une négociation doit déboucher sur l’accord qui maximise le produit des utilités des agents parmi tous les accords possibles. Ce résultat est la conséquence d’une série d’axiomes et d’hypothèses. Le problème de la théorie de Nash est qu’elle est silencieuse sur le processus qui permet d’atteindre ce résultat. Il existe cependant des modèles de jeux non-coopératifs qui montrent que, sous certaines conditions, des agents rationnels impliqués dans le cadre d’une négociation aboutiront à la solution de Nash. Les deux plus célèbres sont le modèle de Zeuthen et celui de Rubinstein, ce dernier ayant l’avantage d’incorporer le rôle du temps au travers d’un facteur d’actualisation incorporé dans la fonction d’utilité des joueurs. Le modèle de Zeuthen, basé sur l’idée de menace et de concession, est toutefois suffisant pour développer l’idée qui m’intéresse. Dans ce modèle, les deux joueurs formulent chacun une offre de départ puis, au travers de concessions consenties à tour de rôle, parviennent éventuellement à un accord. Voici quelques détails.

Soit deux joueurs A et B. Soit X un ensemble d’états sociaux faisables, c’est-à-dire sur lesquels la négociation peut déboucher. Un état x = (xA, xB) correspond à un résultat dont la valeur pour chaque joueur est déterminé par une fonction d’utilité ui = ui(xi). Initialement, chaque joueur propose un accord Pareto-optimal PA = (xA, xB) et PB = (yA, yB), le premier étant proposé par A, le deuxième par B. Si PA ≠ PB, un conflit émerge. Si ce conflit n’est pas résolu, chaque joueur obtient un gain correspondant au point de désaccord D = (dA, dB) dans X. On suppose que uA(xA) > uA(yA) > uA(dA) et uB(xB) > uB(yB) > uB(dB). Il est possible qu’un des deux joueurs acceptent la proposition de l’autre. Si ce n’est pas le cas, Zeuthen suggère que la négociation va procéder de la manière suivante : un des joueurs (par exemple A) va faire une nouvelle offre PA’ = (xA, xB) telle que uB(yB) > uB(xB) > uB(xB). Le joueur B fait une concession s’il accepte l’offre de A, de telle sorte que le montant de sa concession correspond à la différence entre son gain si son offre avait été accepté et son gain dans l’offre à laquelle il a consentie, i.e. uB(yB) – uB(xB). Supposons que B refuse. Qui fera la prochaine concession ? Selon Zeuthen, celui qui fait la concession suivante doit être le joueur qui a le moins intérêt à prendre le risque d’échouer au point de désaccord D.

Si on note pAB la probabilité (subjective) que A associe au fait que B soit inflexible et ne renonce pas à sa dernière offre et 1 – pAB la probabilité que A assigne au fait que B accepte sa dernière offre, alors A fera une concession si et seulement si

pAB ≤ [uA(xA) – uA(yA)]/[uA(xA) – uA(dA)]

On note rA = [uA(xA) – uA(yA)]/[uA(xA) – uA(dA)] le risque maximal du joueur A, c’est-à-dire la plus forte probabilité d’échouer au point de désaccord D que le joueur A est prêt à accepter pour continuer la négociation et rejeter l’offre de B. On calcule de la même manière rB pour le joueur B. Le modèle de Zeuthen repose alors sur la règle de négociation suivante : le joueur avec la plus faible tolérance au risque (celui dont le risque maximal r est le plus faible) est celui qui fait la prochaine concession. La concession en question peut être la plus faible possible, dès l’instant qu’elle offre à l’autre davantage que lors de l’offre précédente formulée par le même joueur (si c’est A qui concède, alors uB(xB) > uB(xB)). La négociation se poursuit jusqu’à temps que les joueurs s’accordent sur une offre P* telle que r1 = r2. Quelques manipulations algébriques permettent de montrer que cet accord correspond à un partage (xA, xB) tel que l’expression suivante est maximisée

[uA(xA) – uA(dA)].[uB(xB) – uB(dB)]

Autrement dit, le processus de négociation débouche sur le point qui maximise le produit de l’écart entre les gains des joueurs et leurs gains en cas de désaccord. Il s’agit bien de la solution de Nash. Graphiquement, cela donne

Nash

Ce genre de modèle a quelque chose de troublant. En effet, supposons que le modèle de Zeuthen, que je note Z, soit vrai, autrement dit qu’il décrive la manière dont se passe réellement une négociation. Dire que Z est vrai, cela revient à dire que ses hypothèses sont vérifiées et que la négociation débouche effectivement sur le résultat prédit par Z. Supposons que les participants à la négociation connaissent Z et savent que Z est vrai. A quoi bon négocier alors ? La question a d’autant plus de sens si l’on suppose que la négociation est couteuse, autrement dit que les gains des joueurs correspondant à un état donné dans X décroissent avec la durée de la négociation (comme c’est le cas dans le modèle de Rubinstein). En fait, le modèle de Zeuthen décrit un processus totalement atemporel et purement cognitif : si Z est vrai et que les joueurs le savent, alors ils ont juste à utiliser Z avant de commencer à négocier et de conclure directement la négociation par l’accord correspondant à la solution de Nash. Cela est vrai bien entendu pour n’importe quelle autre théorie de la négociation qui serait vraie dans le sens que j’utilise ci-dessus.

Ce n’est clairement pas ce qui se passe en pratique. Cela vient de plusieurs choses, et notamment du fait que les joueurs n’utilisent peut-être pas la même théorie de la négociation peut prédire ce qui va se passer. Continuons néanmoins de supposer que Z est vrai et que les joueurs savent cela. Le prolongement du désaccord peut provenir alors du fait que l’information est incomplète, notamment en ce qui concerne le « type » respectif des joueurs, et notamment leur fonction d’utilité. Notez que le modèle de Zeuthen ne fait pas explicitement l’hypothèse que les joueurs connaissent la fonction d’utilité de l’autre. La convergence du processus de négociation vers la solution de Nash ne dépend pas formellement de cette hypothèse. En l’absence d’une telle information, il n’est toutefois pas surprenant que les joueurs ne s’entendent pas instantanément. Dans le cas du Shutdown américain, la durée de la négociation (eu égard à ses conséquences) est toutefois surprenante. En effet, même si l’information est incomplète, il semble que les parties en présence devraient pouvoir se mettre d’accord plus rapidement. La raison en est la suivante.

Pour simplifier, supposons que l’incertitude concerne uniquement les gains des joueurs au point de désaccord. Supposons que chaque joueur puisse être de deux « types », chaque type correspondant à un gain particulier au point de désaccord. Ainsi, le joueur A peut être de type A1 si son gain au point D est dA1 et de type A2 si son gain au point D est dA2. Idem pour le joueur B. On a alors quatre états du monde possibles :

B1

B2

A1

I

II

A2

III

IV

Notez que chaque état du monde correspond graphiquement à un point de désaccord D différent, chaque point DI, DII, etc., induisant une solution différente. Soit Ω l’ensemble des états du monde possibles. On attribue à chaque joueur un prior, qui correspond à une distribution probabiliste sur Ω. Autrement dit, avant de commencer à négocier, chaque joueur assigne une probabilité q à chaque état du monde. L’essentiel des travaux en théorie des jeux en information incomplète repose sur l’hypothèse de common priors, autrement dit on suppose généralement que les joueurs ont les mêmes croyances ex ante sur la distribution des états du monde. Pour faire simple ici, supposons que les deux joueurs assignent la même probabilité à chaque état du monde, autrement dit q = ¼ pour tous les états du monde. Comme chaque joueur connait son propre type, chacun actualise ses croyances en accord avec cette information. Par exemple, imaginons que A est de type A1. Il sait alors que l’on est soit dans l’état du monde I ou dans l’état du monde II, auxquels il assigne à chacun de ces évènements une probabilité de ½. On arrive alors à la conclusion suivante : si les joueurs considèrent que Z est vrai et que cela est connaissance commune, la seule explication à l’absence d’un accord instantané dans le cadre de la négociation tient au fait qu’ils ne croient pas être dans le même état du monde. Mais si l’hypothèse de common priors est satisfaite, cela est impossible : c’est la conséquence directe d’un théorème de Robert Aumann selon lequel « il est impossible d’être d’accord que l’on est en désaccord ». En effet, si l’on continue l’exemple ci-dessus, notons E l’évènement « nous sommes dans l’état I ou II » et E’ l’évènement « nous sommes dans l’état II ou l’état IV ». Si A est de type A1, il sait que E. Supposons que B est de type B2, il sait alors que E’. Le fait que les deux joueurs ne parviennent pas à se mettre instantanément d’accord est alors une indication (qui est connaissance commune) que l’autre à une information privée. Par le jeu de l’actualisation des croyances via cette information privée, les deux joueurs doivent très vite (en fait, instantanément) se mettre d’accord.

En information incomplète et dans l’hypothèse où l’hypothèse de common priors est vérifiée, il est intéressant de noter que dans notre exemple la théorie Z est formellement un équilibre corrélé, c’est-à-dire une solution prenant la forme d’une fonction associant chaque état du monde à un profil de stratégies dans le jeu de négociation. En effet, la théorie Z assigne à chaque joueur une proposition Pi(ω) en fonction de l’état du monde ω. Que signifie alors le fait qu’une négociation s’éternise ? Tout simplement que les joueurs n’ont pas les mêmes priors. Dans ce cas, l’information privée produite par le processus de négociation et le prolongement du désaccord ne permet pas forcément aux joueurs de faire converger leurs croyances.

Il semble que ce soit plus ou moins le cas en ce qui concerne le Shutdown, même si le modèle sous-jacent est en réalité bien plus complexe que celui que j’ai développé. Les démocrates semblent croire que les républicains ont beaucoup à perdre sur le plan électoral si le conflit se prolonge, et l’histoire semble leur donner raison. Mais les républicains n’ont manifestement pas la même vision des choses : ils sont persuadés que c’est l’administration Obama qui a le plus de chance de passer pour irresponsable. Formellement, les deux camps n’assignent pas la même probabilité ex ante aux différents états du monde ou, dit autrement, ils ne jouent pas au même jeu !

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