De l’impossibilité épistémique du poisson d’avril II

Soit deux individus, Daryl et Merle (c’était le dernier épisode de la saison 3 de The Walking Dead hier soir) interagissant un 1^er avril. Merle est facétieux et aime bien faire des blagues à Daryl, en particulier un 1^er avril. Daryl quant à lui, n’aime pas se faire avoir. Merle peut annoncer à Daryl soit une vraie nouvelle T, soit une fausse nouvelle F, soit ne rien annoncer N ; Daryl peut soit le croire (B), soit ne pas le croire (U). Il y a donc 6 résultats possibles et les préférences de Merle et Daryl sont respectivement les suivantes :

Merle : FB > TU = TB = NB = NU > FU

Daryl : FU = TB > NB = NU = TU > FB

On suppose que tout cela est connaissance commune parmi les deux joueurs. On suppose par ailleurs que les deux joueurs sont rationnels au sens bayésien. Il n’est pas très difficile de voir que dans cette configuration Merle ne prendra jamais l’initiative d’annoncer une nouvelle à Daryl, étant donnée la suspicion de ce dernier. On peut formaliser les choses de la manière suivante : soit E l’évènement « on est le 1^er avril » et où E renvoi à un seul et unique état du monde w où, étant donnée la suspicion de Daryl, Merle n’annonce aucune nouvelle. Si l’on considère que E est connaissance commune, il en va de même pour la matrice et donc pour le résultat auquel elle conduit. Si l’on note par P l’évènement « Merle annonce le 1^er avril une nouvelle fausse à Daryl qui le croit », alors il est trivial que E ne peut impliquer P. C’est ce que l’on peut appeler l’impossibilité épistémique du poisson d’avril.

Le résultat précédent est une pure tautologie : si on postule que les joueurs ont connaissance commune de l’évènement « 1^er avril » et que celui-ci implique (logiquement) qu’aucune nouvelle surprenante (c’est-à-dire fausse mais perçue comme vraie) ne peut être annoncée, alors il est évident qu’il est connaissance commune qu’aucune nouvelle ne sera annoncée. L’hypothèse clé est que l’ensemble des états du monde Ω ne comporte qu’une seule et unique entité w, et que donc par définition Merle et Daryl lui assignent une probabilité de 1. Maintenant, supposons malgré tout que Merle annonce une nouvelle f à Daryl et notons Ef l’évènement « nous sommes le 1^er avril et Merle annonce f ». Du point de vue de Daryl, il en découle que le modèle épistémique du paragraphe précédent est nécessairement faux. L’évènement Ef correspond nécessairement à un état du monde w’ autre que w. L’état du monde w’ peut renvoyer à plusieurs possibilités : Merle n’a pas les préférences indiquées ci-dessus, Merle n’est pas rationnel, Merle pense que Daryl n’est pas rationnel, Merle pense que Daryl pense que Merle n’est pas rationnel, etc. Il faut donc modifier la spécification de l’ensemble Ω des états du monde possibles en intégrant ces différentes possibilités. Pour faire simple, supposons que le seul autre état w’ est un état où Merle est irrationnel dans le sens où il agit aléatoirement selon une stratégie mixte conférant une probabilité de 1/3 à chacune de ses stratégies.

Par conséquent, si Daryl observe Ef, il sait que nous sommes en w’ et puisque Merle a annoncé une nouvelle, il en résulte qu’il y a une probabilité de ½ que celle-ci soit fausse. Si les préférences de Daryl sont celles spécifiées plus haut, il est optimal pour lui de penser que celle-ci est fausse. De ce point de vue, il semblerait que Merle n’aurait rationnellement aucun intérêt à paraître irrationnel. Mais est-ce si sûr ? Admettons que dans un troisième état du monde w’’ possible, Daryl pense que Merle est sincère (dire la vérité est une stratégie dominante pour Merle). Maintenant, l’évènement Ef devient difficile à interpréter pour Daryl car il peut signifier soit que Merle est irrationnel (auquel cas, il ne doit pas le croire), soit que Merle est sincère (auquel cas, Merle dit forcément la vérité et Daryl doit le croire). La réaction de Daryl à l’annonce de la nouvelle f (croire ou ne pas croire) dépendra de sa croyance antérieure p(w’’) concernant la probabilité que Merle soit sincère. On arrive alors au d’un résultat démontré par Robert Aumann sur la base de ce qu’il appelle la doctrine d’Harsanyi : si Merle et Daryl ont les mêmes croyances antérieures p concernant les différents états du monde et que leurs croyances postérieures sont connaissance commune, alors ils s’accorderont sur le résultat du jeu et la notion même de poisson d’avril n’a pas de sens. Par exemple, si p(w’’) est identique et très faible pour Merle et Daryl, alors tous deux savent que Daryl ne croira jamais une annonce f par Merle et que Merle ne fera donc jamais d’annonce. La surprise est impossible parce que leurs croyances antérieures sont les mêmes. Mais si leurs croyances antérieures sont différentes, les choses sont différentes : si par exemple Merle confère une probabilité élevée à p(w’’) mais pas Daryl, Merle fera l’annonce f et Daryl ne le croira pas ; le poisson d’avril échouera, comme cela arrive souvent en réalité. Si c’est Daryl qui assigne une probabilité élevée à l’état w’’ (mais pas Merle), on observe un résultat intéressant : Daryl s’attendra à ce que Merle lui annonce une (vraie) nouvelle mais Merle ne le fera pas.

La morale de l’histoire : si vous voulez expliquer les phénomènes de la vie réelle (les poissons d’avril, pourquoi des agents s’échangent des actifs sur les marchés financiers, etc.), il faut tenir compte de la possibilité que les croyances antérieures des agents divergent très souvent. Le fait qu’elles puissent parfois coïncider s’expliquent par l’existence de normes sociales. Mais dans le cas du poisson d’avril, il est intéressant de voir que la norme est auto-destructrice : en générant des croyances antérieures communes, elle rend impossible la surprise.

Sinon, sur le même thème, on peut lire ce billet de Jeff Ely.