Choix, risque et incertitude

Sur le site de l’Institute for New Economic Thinking,  Raphaele Chappe et Sanjay Reddy poursuivent leur « déconstruction » (c’est bien la première fois que j’emploie un terme post-moderne ici !) du manuel de microéconomie de Mas-Colell et al. Cette fois-ci, c’est du chapitre 6 sur les choix en risque et en incertitude dont il est question. Comme d’habitude, c’est très intéressant et donc à lire. Quelques commentaires toutefois.

La tonalité générale du billet est assez négative. On sait qu’en matière de risque et d’incertitude, l’appareillage conceptuel et théorique de l’économiste est la théorie de l’utilité espérée développée par von Neumann et Morgenstern, puis par Leonard Savage. Dans ce cadre, on considère que le comportement d’un agent rationnel en situation de risque ou d’incertitude peut être représenté par une fonction d’utilité VNM (pour von Neumman et Morgenstern), dès lors qu’un certain nombre d’axiomes sont satisfaits (les axiomes de la théorie de l’utilité ordinale, plus certains autres (axiome d’indépendance, axiome d’équivalence probabiliste). Une fonction VNM décrit le comportement d’un agent rationnel comme étant linéaire par rapport aux probabilités : soit deux biens M et N avec une relation de préférence M > N. Soit une loterie L avec une probabilité p d’obtenir M et une probabilité 1-p d’obtenir N. Si le comportement de notre agent satisfait aux axiomes de VNM, alors il devra préférer toute loterie L’ à L dès lors que la probabilité p’ d’obtenir M est supérieure à p.

La contribution essentielle de Savage est d’avoir modélisé la décision en situation de risque et d’incertitude dans un cadre bayésien où chaque problème de décision D peut se décrire par un ensemble d’actions possibles A, un ensemble d’états du monde B, et un ensemble de résultats C :

D : AxB –> C

Dès lors que l’agent est rationnel, il est possible d’associer au problème D une fonction d’utilité VNM. Le problème de décision consiste alors à choisir dans l’ensemble A l’action qui maximise la valeur associée aux différents résultats contenus dans C, en fonction des différents états du monde possible. Plusieurs cas de figure sont possibles : l’état du monde effectif b peut être connu ; b peut ne pas être connu du décideur mais celui-ci peut déterminer un ensemble de probabilités objectives relatif à la réalisation des différents états du monde ; b est inconnu et il est impossible de définir des probabilités objectives concernant la réalisation des différents états du monde. On considère que la deuxième situation est une situation de risque, la troisième une situation d’incertitude.

Ce que Savage a montré, c’est que dans un cadre bayésien, la distinction risque/incertitude est secondaire. Il est toujours possible de déduire du choix d’un individu en situation d’incertitude un ensemble de probabilités subjectives à partir duquel l’agent a maximisé une fonction VNM. C’est précisément ce point que critique le billet sur le site de l’INET :

Chapter 6 in MWG does not do full justice to these issues.  It may suffice to note that the title of “Choice Under Uncertainty” is a misnomer. The treatment of indeterminacy is focused on the probabilistic risk framework, with true uncertainty coming up as an afterthought, and even then being inadequately acknowledged.

Le point que je voudrais souligner est surtout que l’on a tendance à associer l’incertitude à l’impossibilité de définir objectivement un ensemble de probabilités sur la réalisation des états du monde. Mais l’incertitude pose un problème fondamentalement plus radical : l’impossibilité de définir une liste exhaustive et précise des différents états du monde contenus dans l’ensemble B. Considérons  le « problème de l’omelette » que j’emprunte à Savage : imaginons que je prépare une omelette avec 6 oeufs et que j’en ai déjà cassé 5 dont j’ai mélangé le contenu dans un bol. Concernant le 6ème, je dois décider si je le casse directement dans le bol, ou si je le casse à part pour m’assurer qu’il est encore propre à la consommation. Bien que je n’ai aucune idée de la probabilité que l’oeuf soit encore bon, je peux toutefois facilement dresser la liste des états du monde possibles (en l’occurrence, il y en a deux). Mon choix révèlera de manière non ambigüe mes croyances subjectives concernant l’état de l’oeuf.

Prenez maintenant cet autre exemple : le président Bush doit décider d’intervenir ou non militairement en Afghanistan au lendemain des attentats du 11 septembre. Les différents options à disposition sont relativement bien identifiées  mais il est clairement impossible de dresser une liste exhaustive d’états du monde possibles et bien identifiés. Ici, le problème n’est pas le caractère subjectif des probabilités, c’est tout simplement qu’il n’y a pas d’évènements sur lesquels on puisse définir des probabilités. Bien sûr, rétrospectivement, il sera toujours possible de définir une fonction VNM poour décrire le choix de Bush (dès lors que celui-ci satisfait aux critères de rationalité), mais cela ne veut pas dire que l’on aura une bonne description (et encore moins une explication) du choix.

Beaucoup d’économistes ignorent (ou font mine d’ignorer) que Savage a explicitement circonscrit sa théorie de la décision à ce qu’il appelait les small-worlds. La manière la plus simple de définir un small world est de l’identifier à un monde où les agents ne peuvent pas être surpris : tous les états du monde possibles sont connus et envisagés, même ceux auxquels on associe une probabilité de réalisation de 0. L’hypothèse des common priors en théorie des jeux a du reste exactement la même fonction*. En revanche, en ce qui concerne les large worlds, il n’y a a priori pas de raison de penser que le cadre bayésien soit applicable. Il existe aujourd’hui des travaux qui cherchent à élaborer des modèles, voire une axiomatisation des choix sous incertitude dans le cadre de large worlds. On peut citer le dernier ouvrage de Ken Binmore et surtout les travaux de Gilboa et Schmeidler (GS) sur la case-based decision theory (voir ce livre en particulier).

En quelques mots, l’idée de GS est la suivante. En situation d’incertitude où la définition de la liste des états du monde est impossible, les agents prennent leurs décisions sur la base d’analogies avec des problèmes de décision passés et similaires au problème auquel ils sont confrontés. Formellement, notons A l’ensemble des actions possibles, d le problème de décision présent, q un autre problème de décision et r un résultat donné. Un cas est identifié à un triplet c = (q, a, r), autrement dit à un problème de décision où une décision donnée à été prise avec un certain résultat. Notons C l’ensemble des cas existants. Chaque agent à une mémoire M représentant sa connaissance d’un nombre limité de cas passés. Enfin, on note s(p, q) le degré de similarité entre le cas présent et un cas q donné. Une décision en incertitude basée sur l’analogie entre cas peut alors se décrire de la manière suivante :

U(a) = Up,M(a) = ∑q,a,r s(p, q)u(r)

En clair, l’agent choisit l’action qui maximise son utilité sur la base de la similarité entre le problème de décision auquel il est confronté et les cas passés dont il a connaissance. De manière intéressante, on peut aussi interpréter s(.) comme un raisonnement basé sur le mimétisme. Le point important est que l’on a pas besoin de définir une liste exhaustive des états de la nature.

Néanmoins, et bien que ce cadre théorique (que GS s’appliquent à axiomatiser) semble pertinent pour étudier la décision en incertitude, je n’ai pas connaissance de travaux appliqués en faisant usage…

*L’application du cadre bayésien aux interactions stratégiques posent d’ailleurs des problèmes redoutables en raison des interdépendances épistémiques, mais cela sort du cadre de ce billet…

5 Commentaires

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5 réponses à “Choix, risque et incertitude

  1. Vous avez raison sur la distinction à faire :
    – à ensemble d’états du monde fixé, on peut soit faire un modèle à probabilités fixées, soit essayer de ne pas fixer à priori les probabilités des évènements, afin de faire de l’optimisation. Cette dernière approche est très complexe, et fait l’objet en finance de ce qu’on nomme les modèles robustes si on fixe des dynamiques dont les paramètres sont incertains (Bouchard, Moreau, Nutz en contrôle stochastique), ou encore « model-free » relations si on se garde même de donner des dynamiques aux objets intéressés (Touzi en finance).
    – on peut aussi éviter de considérer l’ensemble des possibilités, soit en se rapprochant du cadre robuste (mais là encore, on a toujours une mesure de probabilité qui est au moins plus fine que toutes les autres possibles, donc au final on revient à un cadre d’énumération des possibilités), soit en réactualisant la théorie des jeux pour le hasard (Shaeffer and Vovk), mais là encore, je ne suis pas bien sûr qu’on laisse libre cours au joueur « monde » de faire réellement tout et n’importe quoi.

    Si je suis d’accord avec la distinction conceptuelle à faire, il se trouve qu’on est tout bonnement incapable de bien gérer le second cas mathématiquement. C’est d’ailleurs l’oeuvre épistémologique récente de Nicolas Bouleau qui réactualise le concept de probabilité philosophique de Cournot pour souligner que la mathématisation fige le sens, et que par conséquent, toute probabilité s’appuyant sur le sens des évènements à considérer est vouée à ne pas permettre de bonne mathématisation. Large débat de ce qu’est réellement une probabilité…

  2. Titan

    L’incertitude, ce n’est pas le manque de connaissance sur la liste des états du monde. C’est la non-possibilité de déterminer à 100% avec les connaissances existantes l’évolution future de cet état. (En accord avec CH sur la conclusion). Cela me rappelle des calculs faramineux dans la théorie des particules, comme dans les calculs d’espérance d’assurance-vie pour les assureurs.
    L’incertitude est finalement « déterminé » par un programme ou un langage philosophique, mais ce n’est pas le plus haut degré de maîtrise.
    Car seul un agent rationnel à l’esprit pragmatique pourra raisonner sur l’incertitude en trouvant dans les résultats statistiques, comme le scoring ou dans les expériences physiques du monde, le degré de corrélation fort ou faible, qui associe à partir d’une théorie, les interprétations possibles de la réalité. Ainsi que le degré élevé ou non de prédictibilité ou d’erreurs de modélisation, des théories sur le réel.
    Or, les interprétations sont fortement décriées car non-prise en compte en philosophie ou d’autres domaines, mais elles sont pourtant ce qu’il y a de plus objectif.
    @Adrien, le sens des évènements, c’est l’interprétation qu’on leur trouve. Mais mathématiquement, il n’y a pas de logique qui se contrarie, seulement des prédicats fixés. Et la philosophie n’étant pas la science des prédicats, on ne peut pas associer le manque de déterminations sur « le sens des évènements » à une erreur mathématique sur la notion de probabilisme. Ce serait faire tout simplement une erreur philosophique à mon sens..

    • Adrien

      @Titan
      Je suis bien d’accord que l’incertitude au sens large correspond à l’ensemble des barrières à la connaissances du futur, mais CH a voulu faire la distinction entre méconnaissance générale et celle des probabilités pesant sur les alternatives considérées, et s’il y a bien une autre chose qui est source d’incertitude alors, c’est l’ensemble des alternatives considérées, en tout cas en mathématiques, d’où mon intervention.

      Je ne suis pas forcément d’accord toutefois avec la fin (même si je ne comprends pas très bien votre formulation). Fixer une loi de probabilité sur un espace mesurable d’états du monde possible, c’est fixer le sens de ce qui peut arriver, quand ceci est assez objectif. En Finance, un mouvement Brownien peut prendre un nombre infini de valeur, mais les variations de ce processus ne correspondent pas toujours à la réalité (cas de crise), et c’est alors que les économistes se réfugient derrière le « black swan » : l’évènement non anticipé, l’incertitude Knightienne, tout en continuant d’utiliser tout de même des modèles dont les alternatives sont restreintes. Deuxième exemple que je vous emprunte : l’actuariat. Un actuaire peut faire l’espérance de toutes les jolies lois qu’il connait, si une météorite s’abat sur la Terre, on peut dire de ses espérances bien plus qu’elles se révèlent loin de la réalité, mais qu’elles sont même hors de propos.

      Ce n’est donc pas une erreur mathématique, mais une sur-mathématisation de l’incertitude, d’où la mise en garde de Cournot concernant les probabilités auxquelles nous pouvons être confrontées:
      « Mais de ce que les géomètres n’ont point à s’occuper de telles probabilités qui résistent à l’application du calcul, il faut se garder de conclure qu’elles doivent être réputées sans valeur aux yeux des philosophes ».

  3. Titan

    @ Adrien,
    Il faut distinguer les mathématiques pures servant à la physique théorique ou à l’informatique, des mathématiques appliquées que vous citez (actuariat..) qui sont en fait des principes d’ingénieur.
    La première branche des mathématiques prend en compte obligatoirement toutes les alternatives possibles, c’est le monde de la recherche, qu’on soit en géométrie non-euclidienne, en arithmétique.. Mais cette branche des mathématiques ne pourra jamais dire ce qu’il adviendra de X pendant le temps t. Car les mathématiques sont une métaphysique qui est bien incapable de prédire le futur, comme la philosophie.

    La deuxième branche des mathématiques s’intéresse à ses applications (ingénierie, conseil) mais elle ne prédit pas non-plus un état futur.
    Tout ingénieur vous dira qu’en retenant la formule la moins complexe pour prédire la chaleur de certains états, sans passer par la thermodynamique, on élimine certaines équations mais cela n’influence pas l’équilibre général qui est mesurable (la température et autres conditions..) L’univers macroscopique gouvernant l’univers microscopique.
    Concernant la finance, on ne peut tenir le même raisonnement.
    L’intérêt des acteurs modifient pour beaucoup le sens des équations…
    En effet les ingénieurs financiers sont payés par leurs employeurs (banque, organismes privés..), ils ont donc tout intérêt à ce que ces derniers soient gagnants avant et après la crise, vous remarquerez..

    Dire que « la mathématisation fige le sens » est donc un effet de style car les mathématiques ne sont pas vouées à donner un sens (positif ou négatif). Certains métiers ont même pour rôle d’interpréter les chiffres (contrôleur de gestion..), certains de les concevoir (mathématicien..), mais ce sont deux métiers qui sont dans la réalité séparée.
    Une erreur de conceptualisation (manque de paramètres, d’alternatives..) apparaît vite, qu’il y ait un facteur externe pour le révéler ou non. Mais c’est un domaine de spécialiste, et quand aux personnes réalisant ces transactions ils devraient mieux s’entourer de bons économistes que de brillants mathématiciens. Car ce n’est pas les mathématiciens qui roulent le monde dans la farine soyons clair,

    Quand au philosophe, je pense qu’ils sur-déterminent la valeur des mathématiques. Par exemple certains philosophes diront que les nombres incommensurables ne font pas partie du réel.. mais les nouvelles voies qu’ils ouvrent n’affectent pas les mathématiciens parcequ’ils ne remettent pas en cause leur logique ou leur prédicat.
    La philosophie étant dans ses fondements régie elle-même par les mêmes règles de logique mais elle a choisit son camp (même dans le domaine de la logique), ce que les mathématiques ne font pas. Et ce n’est pas un manque pour avoir la médaille Fields

  4. Pingback: Somewhere else, part 25 | Freakonometrics

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