Quelle est l’utilité des « petits » modèles ? (2/2)

C.H.

Dans cette seconde partie, je vais essayer par un exemple simple de montrer ce qu’un jeu aussi basique que la chasse au cerf peut nous apprendre. Reprenons la matrice de base :

      B  
    Cerf   Lièvre
  Cerf 3 ; 3   0 ; 2
A        
  Lièvre 2 ; 0   2 ; 2

Derrière cette matrice et sa petite histoire de chasse, se cache une idée fondamentale dont la pertinence pour comprendre un certain nombre de faits socioéconomiques ne fait pas de doute : même si la coopération débouche de manière évidente sur une situation qui est préférable pour chacun, cette coopération ne peut se développer qu’à la condition que les agents se fassent suffisamment confiance les uns les autres. Avec les gains de la matrice ci-dessus, l’équilibre socialement optimal [cerf ; cerf] ne sera atteint que si chaque joueur croit que l’autre chassera le cerf avec une probabilité supérieure à 2/3. Face à un adversaire dont il n’a aucune idée de la stratégie que celui-ci adoptera, un joueur préfèrera donc chasser le lièvre. Dans le jargon, l’équilibre [lièvre ; lièvre] est dominant en risque. Tant que l’on ne spécifie pas la manière donc chaque joueur forme ses croyances, on ne peut rien dire de plus. Si l’on se place dans une perspective évolutionnaire, dans laquelle on considère que les membres d’une large population sont appariés aléatoirement deux à deux, alors l’équilibre qui émergera dépend de la situation initiale : si plus d’un tiers de la population est composée de chasseurs de lièvres, alors à terme il n’y aura plus que des chasseurs de lièvres (moyennant l’hypothèse que les individus imitent ceux qui ont le plus de succès). Plus intéressant encore : si l’on considère que les individus peuvent se tromper de temps à autre (c’est-à-dire jouer la stratégie non optimale), alors on peut montrer que la population passera de manière successive par les deux équilibres mais qu’elle passera l’essentiel de son temps dans l’équilibre sous-optimal. L’intuition est assez simple : pour passer d’un équilibre à un autre, il faut une certaine masse critique de déviants, or pour passer de l’équilibre de chasse au cerf à l’équilibre de chasse au lièvre, 1/3 de déviants dans la population suffit, alors qu’il en faut 2/3 pour aller dans le sens inverse. Par conséquent, il est plus facile (i.e. plus probable) de transiter de l’équilibre de chasse au cerf vers celui de chasse au lièvre que de faire le sens inverse.

Robert Sugden a montré la robustesse de ce résultat. Je reprend ici son analyse. Complexifions le jeu en considérant qu’il se déroule au sein d’un « espace social ». Cet espace social peut être un espace géographique mais il peut aussi renvoyer à une organisation des interactions conditionnée, par exemple, par des facteurs sociaux ou économiques. L’espace social renvoi ainsi à l’ensemble de localisations (géographiques, temporelles, sociales) où les interactions peuvent prendre part. Les individus peuvent passer d’une localisation à une autre et conditionner leur comportement en fonction de la localisation (une autre manière de faire, plus courante, est de considérer que chaque individu à une localisation fixe et qu’il interagit avec ses différents « voisins »). Comme Sugden, prenons l’exemple d’un espace social ayant la forme d’un cercle. Ce cercle est composé d’un nombre n de points numérotés de 1 à n dans le sens des aiguilles d’une montre. Une population de m individus joue la chasse au cerf dans cet espace social. A chaque itération, 2 joueurs sont tirés au hasard de la population et jouent le jeu dans une localisation elle aussi choisie au hasard. On fait ici une hypothèse clé : les joueurs ne connaissent pas exactement la localisation sur laquelle ils jouent. Si la localisation est x, ils reçoivent chacun un signal indépendant x + ε, ce dernier terme étant une variable aléatoire (dont on considérera qu’elle est distribuée de manière uniforme sur l’intervalle [-1 ; 1]). L’idée est que chaque joueur va pouvoir conditionner sa stratégie en fonction du signal reçu. La stratégie d’un joueur consiste ainsi dans une règle qui associe de manière exhaustive chaque signal possible à une probabilité p de chasser le cerf. Il y a a priori plusieurs équilibres possibles, et notamment chasser le cerf avec une probabilité de 1 pour tous les signaux mais aussi chasser le lièvre avec une probabilité de 1 pour tous les signaux.

Ce que montre surtout ce modèle, c’est qu’il ne peut pas y avoir coexistence entre ces deux conventions au sein de l’espace social. Autrement dit, on ne peut pas avoir de localisations où le cerf est chassé avec une probabilité de 1 tandis que pour les autres le lièvre est chassé avec une probabilité de 1. Cela est relativement contre-intuitif mais cependant assez simple à voir. Imaginons que le lièvre est chassé pour les signaux compris dans l’intervalle [x* – 1 ; x* + 1]. Le cerf est chassé avec une probabilité de 1 pour tous les autres signaux. Soit un joueur recevant un signal x* + k. Etant donné ce signal, la probabilité que l’adversaire chasse le lièvre est uniquement fonction de k, soit p(k). Il est clair que p(k) est maximum pour k = 0, avec p(0) = ¾ : le joueur sait qu’il se situe dans l’intervalle de localisation où le lièvre est chassé, mais la probabilité que l’autre chasse le lièvre n’est toutefois que de ¾ (il y a une chance sur 4 pour que l’autre ait reçu un signal hors de l’intervalle). Si le signal reçu est hors de l’intervalle [x* – 3 ; x* + 3], alors forcément p(k) = 0 puisqu’alors il est certain que l’adversaire a également reçu un signal en dehors de ce même intervalle. On voit surtout que p(1) = p(-1) = ½, c’est-à-dire que si le signal reçu est à la frontière de l’intervalle au sein duquel le lièvre est chassé, alors il y a autant de chance que l’adversaire chasse le cerf que le lièvre. Or, on a vu plus haut que chasser le lièvre est optimal dès lors que l’on pense que l’autre en fera de même avec une probabilité supérieure à 1/3. Autrement dit, si p(k) > 1/3, il est préférable de chasser le lièvre, ce qui implique que cela est le cas non seulement dans l’intervalle [x* – 1 ; x* + 1] mais aussi pour certains signaux qui sont en-dehors (pour les signaux compris entre x* – 1,37 et x* + 1,37 pour être tout à fait exact).

Il suffit alors de répéter le même raisonnement pour se rendre compte que si chasser le lièvre est la stratégie optimale pour tous les signaux reçus dans l’intervalle [x* – 1,37 ; x* + 1,37], alors cela est également le cas pour des signaux situés légèrement en dehors de ce même intervalle, etc. Ce résultat découle directement du fait que chasser le lièvre est dominant en risque : du fait de cette propriété, les localisations où les deux stratégies sont jouées avec une probabilité à peu près égale vont être dominées par la chasse au lièvre, laquelle se généralisera par un phénomène de cascade. Il ne faut pas prendre ce genre de modèle ultra-stylisé au pied de la lettre, mais il nous donne déjà quelques intuitions sur la manière dont l’incertitude concernant certains indicateurs (ici, la précision des signaux reçus) peut se répercuter dans une population. Là où le modèle peut également être instructif, c’est dans ses non-dits. Après tout, ne trouve-t-on pas dans la réalité des situations qui semblent avoir une structure proche de celle décrite par la chasse au cerf et où les individus parviennent malgré tout à se coordonner sur le meilleur équilibre ? L’explication peut venir d’éléments que n’intègre pas le modèle (comme certains dispositifs institutionnels) ou bien des hypothèses qui sont faites. En l’occurrence, une hypothèse tacite dans le modèle est que la meilleure stratégie est progressivement adoptée par les joueurs. Mais rien n’est dit sur la « force évolutionnaire » qui pousse à cette adaptation des agents. On peut tout à fait concevoir que des forces contraires atténuent le processus voire le neutralisent. A l’instar de Sugden, on peut évoquer la saillance d’une stratégie ou le fait qu’elle soit plus facile à apprendre comme étant des facteurs additionnels à prendre en compte.

Ce dernier point montre l’intérêt exploratoire de modèles très stylisés. Ils permettent d’inférer des mécanismes causaux à la fois au travers de l’isomorphisme qu’ils tentent de manifester avec le monde réel, mais aussi par les écarts qui subsistent entre le modèle et la réalité. Ce sont ces écarts qui encouragent la modification et la complexification des modèles pour les rendre plus réalistes. Le type de connaissance générale et nomologique qui est ainsi produit ne peut se substituer à des études plus empiriques et historiquement ancrées mais en constitue un complément indispensable.

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