Modélisation et homomorphisme

C.H.

Attention : Billet un peu ardu, surtout pour un dimanche et au mois d’août de surcroît !

J’avais évoqué il y a quelques mois un numéro spécial de la revue Erkenntnis sur le statut épistémologique des modèles scientifiques. Ce numéro rassemblait un ensemble d’articles discutant la thèse des modèles comme monde crédible, proposée initialement par Robert Sugden, et dont j’ai parlé plusieurs fois ici. La lecture de ces articles fait ressortir une double conclusion : la caractérisation des modèles comme des descriptions de mondes fictifs, ayant leurs propres propriétés, semble faire relativement consensus ; il y a en revanche un désaccord assez prononcé entre les divers contributeurs sur la manière d’évaluer la crédibilité, et donc la pertinence, d’un modèle.

Je rappelle la thèse de Sugden sur ce point : le modélisateur, lorsqu’il observe le monde réel, peut observer ses différents états, mais n’a pas un accès direct à la « fonction de transition » qui induit le passage d’un état à un autre. Cette fonction de transition consiste en fait dans les différents mécanismes que le modélisateur cherche à découvrir. Pour cela, on construit un modèle qui consiste d’une manière ou d’une autre à décrire la transition d’un monde fictif modélisé entre deux états. Autrement dit, on modélise les mécanismes de transition. Pour construire son modèle, le modélisateur va essayer de faire en sorte que ces différents états correspondent, sous certains aspects pertinents, aux états du monde réel que l’on veut expliquer. Si la correspondance est jugée satisfaisante, alors on est autoriser à inférer (par abduction) que la fonction de transition décrite par notre modèle correspond à la fonction de transition du monde réel. Tout le problème consiste à définir les critères permettant de dire si la correspondance entre les états du monde réel et ceux du modèle est satisfaisante, autrement dit si le modèle est crédible. Sugden ne propose pas vraiment de critère convainquant au-delà de l’analogie qu’il propose entre crédibilité d’un modèle et crédibilité d’une nouvelle.

Certains autres contributeurs ont proposé des critères plus ou moins compatibles avec la thèse générale des modèles comme mondes crédibles mais, curieusement, aucun ne discute du critère de l’homomorphisme proposé par John Holland (voir cet ouvrage). Je suis tombé dessus récemment dans le cadre de la préparation d’un cours d’analyse systémique pour des M2 et j’ai trouvé l’idée intéressante, au point que je vais l’intégrer dans mon cours. Le critère de l’homomorphie est d’autant plus intéressant qu’il me semble s’insérer naturellement dans la thèse générale proposée par Sugden. En fait, ce que propose Holland, c’est une modélisation de l’activité de modélisation. Pour expliquer tout cela, le plus simple est de partir d’un schéma :

 

Il faut préciser que la modélisation de Holland s’appliquait à l’origine aux simulations de processus artificiels d’apprentissage, d’où cette représentation plus ou moins « systémique ». La partie haute du schéma décrit le monde réel que le modèle est censé décrire. Le monde réel est dans un état S au moment t et, par l’intermédiaire d’une fonction de transition F(S) passe à un état S en t+1. Cette fonction de transition, comme je l’ai, ce sont les mécanismes ou les processus qui agissent dans le monde réel et que le modélisateur veut découvrir. Comme il ne peut y accéder directement, il construit un modèle qui correspond à la partie inférieure du schéma. La modélisation va consister à simplifier les états du monde réel en ne retenant que les éléments jugés essentiels étant donné l’objectif de la modélisation puis en les regroupant. Le modèle décrit alors des états s(t) et s(t+1). Le passage de S à s se fait par le biais d’une fonction d’équivalence E(S). La fonction d’équivalence décrit en fait le processus cognitif par lequel le modélisateur simplifie et reconfigure le monde réel. Une fois ceci fait, la seconde étape de la modélisation va consister à recherche une fonction de transition f(s) permettant de passer d’un état à un autre dans le cadre du modèle. Définir f(s), c’est en fait définir les conditions pour que le modèle passe de s(t) à s(t+1).

L’idée générale de la thèse de l’homomorphisme est la suivante : si la fonction d’équivalence E(S) est correcte, alors la fonction de transition f(s) du modèle doit permettre de faire des prédictions sur le passage de S(t) à S(t+1), autrement dit f(s) est analogue à F(S). Plus formellement, on peut écrire les choses ainsi : si S(t) est l’état du monde réel en t, alors le modèle décrit s(t) = E(S(t)) et prédit donc la transition f(s) vers l’état suivant s(t+1) = f(s(t)) = E(S(t+1)). Dans le monde réel, S(t) devient S(t+1) via F(S). Par conséquent, on a

s(t+1) = f(s(t)) = f(E(S(t)))

S(t+1) = F(S(t)).

 Donc,

s(t+1) = E(S(t+1)) = E(F(S(t))).

 Par conséquent

f(E(S(t))) = E(F(S(t)))

On peut simplifier l’écriture en ignorant t, ce qui nous donne la condition d’homomorphie :

f(E(S)) = E(F(S))

f(s) = E(F(S))  

Autrement dit, le modèle coïncide avec le monde réel (il est  « crédible »)  s’il est équivalent de modéliser le monde 1) soit avant la transition du monde réel (on prédit alors l’évolution du monde réel) ou 2) soit une fois que le monde a fait la transition et que l’on modélise le nouvel état (on explique alors le passage d’un état à l’autre). C’est la condition d’homomorphisme : la fonction de transition du modèle est identique à la fonction d’équivalence décrivant la fonction de transition du monde réel. Les lecteurs attentifs (ou qui ont quelques connaissances sur le sujet) remarqueront que l’on retrouve la symétrie entre prédiction et explication qui est une proposition forte du modèle D-N en philosophie des sciences.

Cette perspective nous indique que l’objectif de toute modélisation est de bien définir les fonctions d’équivalence et de transition de manière à ce que le critère de l’homomorphisme soit respecté. A ce stade, la modélisation relève certainement plus de l’art que de la science, dans la mesure où il n’existe pas vraiment de règles cognitives ou méthodologiques permettant de faire le bon choix. D’une certaine manière, cela va dans le sens de Sugden lorsqu’il compare la construction d’un modèle à l’écriture d’une nouvelle. Ce modèle nous montre aussi qu’il existe un arbitrage entre la pertinence du modèle (ce que nous apprend sa fonction de transition) et sa précision (le caractère plus ou moins sélectif des fonctions d’équivalence) : moins un modèle est spécifié (c’est-à-dire plus il est proche du monde réel), plus la condition d’homomorphisme sera facile à respecter mais moins le modèle sera pertinent (exemple extrême : une carte routière à échelle réelle).

Le critère de l’homomorphisme est donc assez intéressant pour évaluer la crédibilité d’un modèle même si, en pratique, il est certainement trop strict. Considérer un modèle comme non crédible et donc le rejeter au motif que le critère n’est pas parfaitement respecté n’a pas de sens. En tout cas, il me semble que l’on a là un moyen de préciser cette idée de « crédibilité » d’un modèle.

3 Commentaires

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3 réponses à “Modélisation et homomorphisme

  1. elvin

    Ce billet donne une occasion de reprendre à nouveaux frais quelques discussions récurrentes, en remarquant au passage qu’on parle implicitement de modèles dynamiques et non d’équilibre.

    1. le raisonnement fait un usage abusif des termes mathématiques. Ce qu’on appelle ici « fonction de transition » et « fonction d’équivalence » (E et S) ne sont pas des fonctions au sens mathématique du mot, puisqu’on ne sait pas définir les ensembles qu’elles mettent en relation (les blobs du haut dans le schéma de Holland). Un bon exemple de ce que dénonçaient Marshall et Keynes.

    2. c’est un peu rapide de dire qu’on ne peut pas accéder directement aux processus qui agissent dans le monde réel. Ces processus sont la combinaison des actes d’êtres humains. Faute d’accéder directement à la façon dont ils se combinent, nous avons accès aux actes élémentaires eux-mêmes, et il y a des sciences qui se consacrent à leur étude. A la condition de crédibilité proposée, il faudrait ajouter celle que la « fonction de transition » du modèle soit cohérente avec ce que nous savons des actions individuelles.

    • C.H.

      Sur votre point 1 : j’ai, certainement à tort, pris quelques libertés avec le vocabulaire de Holland qui parle de « classes d’équivalence » et non de fonction d’équivalence. Par contre il parle bien de fonction de transition. Je ne sais pas si cela est vraiment problématique, c’est juste un moyen de désigner le passage d’un état à un autre.

      Sur votre point 2 : oui, on peut éventuellement avoir accès directement aux processus qui agissent dans le monde réel. Dans ce cas là, cela veut tout simplement dire que l’on a pas besoin de passer par la modélisation !

      Concernant le fait que l’on peut avoir aux composants élémentaires mais pas à la manière dont ils combinent, c’est précisément cela le problème. A moins de croire au réductionnisme total, on est forcé d’admettre que la connaissance des composants élémentaires est insuffisante. A partir du moment où l’association des composants engendre des propriétés que n’ont pas les composants, la seule prise en compte de ces derniers peut induire en erreur.

  2. elvin

    @C.H.
    Nous ne sommes pas en désaccord. Je dis comme vous qu’il faut passer par la modélisation car nous n’avons pas un accès direct à la façon dont les actions élémentaires se combinent pour produire des effets émergents, et que donc la connaissance des actions élémentaires est insuffisante. Mais j’ajoute que le modèle doit être cohérent avec ce que nous savons des actions élémentaires, et non construit ex nihilo sans référence à cette connaissance.

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