Common knowledge et problème de l’attaque coordonnée

C.H.

Imaginez deux généraux byzantins situés chacun avec leur armée respective sur deux collines adjacentes. L’armée ennemie est située dans la vallée en bas des deux collines. La configuration stratégique est telle que si les armées des deux généraux attaquent simultanément l’ennemi, elles l’emporteront aisément. En revanche, si l’une attaque alors que l’autre ne bouge pas, c’est l’armée ennemie qui l’emportera. Sachant cela, les deux généraux mettent en place un système pour se coordonner en tenant compte du fait qu’il existe une probabilité e infime mais strictement positive que la transmission d’un message d’un général à l’autre échoue : le général 1 envoi un messager annonçant au général 2 son intention d’attaquer ; le général 2 envoi à son tour un messager au général 1 pour confirmer qu’il a bien reçu le premier message ; le général 1 envoi alors un messager pour confirmer qu’il a bien reçu le deuxième message ; le général 2 envoi alors un messager pour confirmer qu’il a bien reçu le troisième message, etc. Si le processus se poursuit à l’infini, alors l’intention d’attaquer est connaissance commune (common knowledge) parmi les généraux et la coordination est possible.

Cependant, on voit clairement que l’intention d’attaquer ne peut devenir connaissance commune : mettons-nous à la place du général 1 qui a envoyé un message mais qui n’a pas reçu la confirmation. Que va-t-on en déduire ? Il y a deux possibilités : a) avec une probabilité e, le messager n’est pas arrivé au général 2, celui-ci n’a donc pas la confirmation (de la confirmation de la confirmation…) que le général 1 a l’intention d’attaquer ; b) avec une probabilité e(1-e), le général 2 a reçu la confirmation mais son messager n’est pas arrivé. Clairement, e > e(1-e) et donc le général considérera la première possibilité comme la plus probable. Par conséquent, du point de vue du général 2 qui n’aura pas reçu la confirmation, cela signifie que soit son messager n’est pas arrivé au général 1, soit que le messager du général 1 n’est pas arrivé à lui. Comme précédemment, la première possibilité est la plus probable. L’intention d’attaquer ne peut donc devenir connaissance commune puisque la proposition suivante ne peut jamais être vérifiée

L’exemple est censé démontrer les problèmes logiques du concept de common knowledge et, de manière plus spécifique à l’économie, qu’une convention (ou tout autre forme d’accord tacite ou explicite) ne nécessite pas d’être connaissance commune pour fonctionner. C’est par exemple l’argument que développe Ken Binmore contre la théorie des conventions de David Lewis dans cet article. Le problème de coordination des généraux byzantins est contre-intuitif parce que les conditions posées pour que la coordination survienne semble exagérément exigeantes en plus d’être cognitivement irréalistes. A priori, on ne voit pas pourquoi les généraux auraient besoin d’un niveau de confirmation d’ordre infini pour attaquer ; intuitivement, une confirmation d’ordre 2 ou 3 semble suffire. Cela se confirme avec certains travaux portant sur le jeu de l’Email proposé par Ariel Rubinstein (qui est une variante du jeu de coordination des généraux byzantins) : si les généraux peuvent choisir à partir de quel niveau d’ordre de confirmation ils décident d’attaquer (de 1 à l’infini), alors on peut montrer que toutes les stratégies sont évolutionnairement stables… à l’exception de la stratégie consistant à n’attaquer que si le niveau de confirmation est d’ordre infini.

Ce genre de considération tend à indiquer que la condition de common knowledge n’a pas véritablement de sens dans la mesure où 1) il semble difficile pour un évènement d’être réellement connaissance commune et 2) la coordination présuppose rarement la connaissance commune. Dans l’article mis en lien plus haut, Binmore suggère ainsi qu’il est douteux de relier l’existence d’une convention à un évènement public à partir duquel se coordonneraient les agents. Un événement E est public lorsque l’occurrence de E indique par elle-même à tous les agents que E est connaissance commune, ce qui dans la notation conventionnelle donne :

Dans une population de grande taille, les conditions formelles pour que E soit public sont difficilement réunies (sauf si des structures institutionnelles existent, comme le montre Michael Chew) ; inclure la condition de connaissance commune dans la définition d’une convention revient à associer une convention à un évènement public, et donc à nier quasiment l’existence de conventions !

Cet argument vient renforcer d’autres critiques du concept de common knowledge qui pointent du doigt le fait que c’est souvent en relâchant les hypothèses sur les facultés cognitives des individus que l’on arrive à expliquer la coordination. Cependant, il faut mettre un bémol sur les conclusions négatives que l’on peut retenir concernant le common knowledge. La plupart des critiques, y compris celle de Binmore, partent de la définition de la connaissance commune telle qu’elle a été formalisé par Robert Aumann dans le cadre standard de la théorie de la décision bayésienne. Or, ce n’est pas ainsi que David Lewis, le créateur du concept, l’avait initialement formulé. J’en ai déjà parlé à plusieurs reprises sur ce blog, mais il est important de repartir de la formulation précise de Lewis, que j’appellerai CKLewis :

CKLewis : une proposition p est connaissance commune dans une population P et dans une situation A si tout le monde au sein de P partage la même information et les mêmes modes d’inférence et si :

1)      Tout le monde a de bonnes raisons de croire que A

2)      La condition 1) donne à tout le monde de bonnes raisons de croire que tout le monde à de bonnes raisons de croire que A

3)      A indique p

Les concepts « bonnes raisons de croire que » (reason to believe that) et « indique » sont essentiels, de même que la clause « si tout le monde au sein de P partage la même information et les mêmes modes d’inférence ». Les conditions 1 et 2 répondent ainsi à l’objection de Binmore sur l’existence d’évènements publics : on peut penser que tout le monde croit A sans pour autant en avoir la certitude (notamment au travers d’un contact visuel). Notamment, dans le cadre de la théorie de la décision bayésienne, la définition d’un évènement public nécessite l’ajout d’une hypothèse implicite d’occurrence mutuelle justifiant une inférence du type KiE –> Ki(Kj)E (en français : i infère de sa connaissance de E que j connait également E). Dans la théorie de Lewis, l’occurrence mutuelle est reformulée dans le concept de « raison de croire » mais n’a pas de condition strictement définie. Par exemple, je peux raisonnablement inférer du fait qu’un but vient d’être marqué dans le match auquel j’assiste que tout les spectateurs du match savent qu’un but vient d’être marqué (ce fait est donc connaissance commune). Mais je peux aussi raisonnablement inférer que le fait que la France vient de gagner la coupe du monde de football est common knowledge même si je n’ai pas la garantie que tout le monde a vu le match.

Le concept d’ « indication » est quant à lui essentiel pour résoudre le problème posé par le jeu de coordination des généraux. Une relation d’indication dans la théorie de Lewis correspond à une règle d’inférence qui n’est pas nécessairement déductive. Lewis est volontairement flou sur la nature de la relation d’indication et la clause selon laquelle les individus doivent partager les mêmes modes d’inférence indiquent clairement que la déduction n’est pas le seul moyen utilisé par les individus pour passer de prémisses à une conclusion. Notamment, la relation d’indication peut correspondre à différentes formes d’heuristiques que peuvent mobiliser de manière routinière les individus. La condition 3 est cruciale dans le sens où elle indique que les individus doivent partager des modes de raisonnement pour pouvoir se coordonner. Là encore, il s’agit d’un ajout par rapport à la théorie de la décision bayésienne standard. La connaissance des modes de raisonnement utilisés par les membres d’une population donnée peut permettre d’expliquer leur coordination, alors même que les conditions épistémiques nécessaires ne semblent pas réunies : il semble tout à fait raisonnable que nos généraux infèrent d’un niveau de confirmation d’ordre 1 ou 2 de leur message une intention d’attaquer mutuellement partagée.

Le fait de partager des modes de raisonnement commun s’explique partiellement par des facteurs « naturels » (génétiques, cognitifs) et aussi probablement par des facteurs culturels : le fait d’appartenir à la même communauté ou de partager la même identité sociale est non seulement de nature à harmoniser les modes de raisonnement mais contribue aussi à rendre ce fait évident au sein de la population (ce qui est nécessaire si p est une proposition sur les croyances/actions des autres). En revenant à la formulation originelle de Lewis, on échappe ainsi aux principales apories du concept de common knowledge et on peut l’utiliser pour définir les concepts de conventions ou de normes. On peut même aller plus loin : ce qui définit une communauté, c’est le fait que les membres d’une population partagent des normes et des conventions. Ces normes et conventions existent (et sont connaissances communes) parce que les membres de la population partagent les mêmes modes de raisonnement. Et par conséquent, la connaissance commune de ces normes et conventions est constitutive de l’existence de la communauté.

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